ODiplom // Лаборатория // 12.01.2016

Пифагоровы тройки и их количество

Автор: В.А. Белотелов

Рубрика: Лаборатория

Опубликовано: 12.01.2016

Библиографическое описание:

Белотелов В.А. Пифагоровы тройки и их количество [Электронный ресурс] // Образовательная энциклопедия ODiplom.ru

Эта статья является ответом одному профессору – щипачу. Смотри, профессор, как это у нас в деревне делают.

Автор: Белотелов В.А.

Нижегородская область, г. Заволжье.

Требуется знание алгоритма решения диофантовых уравнений (АРДУ) и знание прогрессий многочленов.

ПЧ – простое число.

СЧ – составное число.

 

Пусть есть число N нечётное. Для любого нечётного числа, кроме единицы, можно составить уравнение.

р 2 + N = q2,

где р + q = N, q – р = 1.

Например, для чисел 21 и 23 уравнениями будут, -

102 + 21 = 112, 112 + 23 = 122.

Если число N простое, данное уравнение единственное. Если число N составное, тогда можно составить подобных уравнений по числу пар сомножителей представляющих это число, включая 1 х N.

Возьмём число N = 45, -

1 х 45 = 45,          3 х 15 = 45,          5 х 9 = 45.

Пифагоровы тройки и их количество

Мечталось, а нельзя ли уцепившись за это различие между ПЧ и СЧ найти метод их идентификации.

Введём обозначения;

Пифагоровы тройки и их количество

Изменим нижнее уравнение, -

N = в2 – а2 = (в – а)(в + а).

Сгруппируем величины N по признаку в - а, т.е. составим таблицу.

Пифагоровы тройки и их количество

Числа N были сведены в матрицу, -

Пифагоровы тройки и их количество

Именно под эту задачу пришлось разбираться с прогрессиями многочленов и их матрицами. Всё оказалось напрасно, – ПЧ оборону держат мощно. Давайте в таблицу 1 введём столбец, где в - а = 1 (q - р = 1).

Пифагоровы тройки и их количество

И ещё раз. Таблица 2 получилась в следствии попытки решения задачи об идентификации ПЧ и СЧ. Из таблицы следует, что для любого числа N, существует столько уравнений вида а2 + N = в2, на сколько пар сомножителей можно разбить число N, включая сомножитель 1 х N. Кроме чисел N = ℓ2, где

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ2, где ℓ - ПЧ, существует единственное уравнение р2 + N = q2. О каком дополнительном доказательстве может идти речь, если в таблице перебраны меньшие множители из пар сомножителей, образующих N, от единицы до ∞. Таблицу 2 поместим в сундучок, а сундучок спрячем в чуланчике.

Вернёмся к теме заявленной в названии статьи.

Эта статья является ответом одному профессору – щипачу.

Обратился за помощью, – требовался ряд чисел, который не мог найти в интернете. Напоролся на вопросы типа, – "а за чем?", "а покажи метод". Был в частности задач вопрос, бесконечен ли ряд пифагоровых троек, "а как доказать?". Не помог он мне. Смотри, профессор, как это у нас в деревне делают.

Возьмем формулу пифагоровых троек, –

х2 = у2 + z2. (1)

Пропустим через АРДУ.

Возможны три ситуации:

I. х – нечётное число,

у – чётное число,

z – чётное число.

И есть условие х > у > z.

II. х – нечётное число,

у – чётное число,

z – нечётное число.

х > z > у.

III.х – чётное число,

у – нечётное число,

z – нечётное число.

х > у > z.

Начнём по порядку с I.

Введём новые переменные

Пифагоровы тройки и их количество

Подставим в уравнение (1).

(2α + 2к + 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к + 1)2.

Сократим на меньшее переменное 2γ.

(2α – 2γ + 2к + 1)2 = (2β – 2γ + 2к)2 + (2к + 1)2.

Сократим на меньшее переменное 2β – 2γ с одновременным введением нового параметра ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2                                                  (2)

Имеем

Пифагоровы тройки и их количество

Тогда, 2α – 2β = х – у – 1.

Уравнение (2) примет вид, –

(х – у + 2ƒ + 2к)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2

Возведём в квадрат, -

(х – у)2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) + (2ƒ + 2к)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2,

(х – у)2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) – (2к + 1)2 = 0.                                                           (3)

АРДУ даёт через параметры соотношение между старшими членами уравнения, поэтому мы получили уравнение (3).

Пифагоровы тройки и их количество

Не солидно заниматься подбором решений. Но, во – первых, деваться некуда, а во – вторых, этих решений нужно несколько, а бесконечный ряд решений мы сможем восстановить.

При ƒ = 1, к = 1, имеем х – у = 1.

При ƒ = 12, к = 16, имеем х – у = 9.

При ƒ = 4, к = 32, имеем х – у = 25.

Подбирать можно долго, но в конечном итоге ряд примет вид, -

х – у = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Рассмотрим вариант II.

Введём в уравнение (1) новые переменные

Пифагоровы тройки и их количество

(2α + 2к + 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к + 1)2.

Сократим на меньшее переменное 2 β, -

(2α – 2β + 2к + 1)2 = (2α – 2β + 2к+1)2 + (2к)2.

Сократим на меньшее переменное 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2.                                                 (4)

Имеем

Пифагоровы тройки и их количество

2α – 2γ = х – z и подставим в уравнение (4).

(х – z + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2

(х – z)2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) + (2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2(х – z)2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) – (2к)2 = 0   

Пифагоровы тройки и их количество

При ƒ = 3, к = 4, имеем х – z = 2.

При ƒ = 8, к = 14, имеем х – z = 8.

При ƒ = 3, к = 24, имеем х – z = 18.

Если дальше будем подбирать, получим ряд

х – z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Нарисуем трапецию, -

Пифагоровы тройки и их количество

Напишем формулу.

Пифагоровы тройки и их количество,

где n=1, 2,... ∞.

Случай III расписывать не будем, – нет там решений.

В соответствии с полученными рекомендациями из I и II сгруппируем имеющиеся в популярной литературе тройки. На практике пришлось самому рассчитывать частично.

Для условия II набор троек будет таким:

Пифагоровы тройки и их количество

Уравнение (1) представлено в виде х2 = z2 + у2 для наглядности.

Для условия I набор троек будет таким:

Пифагоровы тройки и их количество

Пифагоровы тройки и их количество

В общей сложности расписано 9 столбцов троек, по пять троек в каждом. И каждый из представленных столбцов можно писать до ∞.

В качестве примера рассмотрим тройки последнего столбца, где х – у = 81.

Для величин х распишем трапецию, -

Пифагоровы тройки и их количество

Напишем формулу, -

Пифагоровы тройки и их количество

Для величин у распишем трапецию, -

Пифагоровы тройки и их количество

Напишем формулу, -

Пифагоровы тройки и их количество

Для величин z распишем трапецию, -

Пифагоровы тройки и их количество

Напишем формулу, -

Пифагоровы тройки и их количество

Итого:

Пифагоровы тройки и их количество

Где n = 1 ÷ ∞.

Как и обещано, ряд троек при х – у = 81 летит в ∞.

Была попытка для случаев I и II построить матрицы для величин х, у, z.

Выпишем из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.

Пифагоровы тройки и их количество

Не получилось, а закономерность должна быть квадратичной. Чтобы всё было в ажуре, оказалось, что надо объединить столбцы I и II.

В случае II величины у, z снова поменяем местами.

Пифагоровы тройки и их количество

Объединить удалось по одной причине, – карты хорошо легли в этой задаче, – повезло.

Теперь можно расписать матрицы для х, у, z.

Возьмём из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.

Пифагоровы тройки и их количество

Всё нормально, можно строить матрицы, и начнём с матрицы для z.

Пифагоровы тройки и их количество

Бегом в чуланчик за сундучком.

Итого: Кроме единицы, каждое нечётное число числовой оси участвует в образовании пифагоровых троек равным количеству пар сомножителей образующих данное число N, включая сомножитель 1 х N.

Число N = ℓ2, где ℓ - ПЧ, образует одну пифагорову тройку, если ℓ - СЧ, то на сомножителях ℓхℓ тройки не существует.

Построим матрицы для величин х, у.

Пифагоровы тройки и их количество

Пифагоровы тройки и их количество

Начнём работать с матрицей для х. Для этого натянем на неё координатную сетку из задачи по идентификации ПЧ и СЧ.

Пифагоровы тройки и их количество

Нумерация вертикальных рядов нормирована выражением

Пифагоровы тройки и их количество

Первый столбец уберём, т.к.

Пифагоровы тройки и их количество

Матрица примет вид, -

Пифагоровы тройки и их количество

Опишем вертикальные ряды, -

Пифагоровы тройки и их количество

Опишем коэффициенты при "а", -

Пифагоровы тройки и их количество

Опишем свободные члены, -

Пифагоровы тройки и их количество

Составим общую формулу для "х", -

Пифагоровы тройки и их количество

Если провести подобную работу для "у", получим, -

Пифагоровы тройки и их количество

Можно подойти к этому результату и с другой стороны.

Возьмём уравнение, –

а2 + N = в2.

Чуть преобразуем, –

N = в2 – а2.

Возведём в квадрат, –

N2 = в4 – 2в2а2 + а4.

К левой и правой части уравнения добавим по величине 4в2а2, -

N2 + 4в2а= в4 + 2в2а2 + а4.

И окончательно, –

2 + а2)= (2ва)2 + N2.

Пифагоровы тройки составляются так:

Рассмотрим пример с числом N = 117.

1 х 117 = 117,       3 х 39 = 117,        9 х 13 = 117.       

Вертикальные столбцы таблицы 2 пронумерованы величинами в – а, тогда как вертикальные столбцы таблицы 3 пронумерованы величинами х – у.

Имеем 

х – у = (в – а)2,

х = у + (в – а)2.

Составим три уравнения.

(у + 12)2 = у2 + 1172,

(у + 32)2 = у2 + 1172,

(у + 92)2 = у2 + 1172.

х1 = 6845,   у1 = 6844,   z1 = 117.

х2 = 765,     у2 = 756,     z2 = 117 (х2 = 85, у2 = 84, z2 = 13).

х3 = 125,     у3 = 44,       z3 = 117.

Сомножители 3 и 39 не являются взаимно простыми числами, поэтому одна тройка получилась с коэффициентом 9.

Изобразим выше написанное в общих символах, -

Пифагоровы тройки и их количество

В данной работе всё, включая пример на расчёт пифагоровых троек с числом

N = 117, привязано к меньшему сомножителю в - а. Явная дискриминация по отношению к сомножителю в + а. Исправим эту несправедливость, – составим три уравнения с сомножителем в + а.

Пифагоровы тройки и их количество

Вернёмся к вопросу об идентификации ПЧ и СЧ.

Много что было совершено в этом направлении и на сегодняшний день через руки дошла следующая мысль, – уравнения идентификации, да такого чтобы и сомножители определить, не существует.

Допустим найдено соотношение F = а,в (N).

Есть формула

Пифагоровы тройки и их количество

Тогда

Пифагоровы тройки и их количество

Можно избавиться в формуле F от в и получится однородное уравнение n – ой степени относительно а, т.е. F = а(N).

При любой степени n данного уравнения найдётся число N имеющее m пар сомножителей, при m > n.

И как следствие, однородное уравнение n степени должно иметь m корней.

Да быть такого не может.

В данной работе числа N рассматривались для уравнения х2 = у2 + z2, когда они находятся в уравнении на месте z. Когда N на месте х, - это уже другая задача.

С уважением Белотелов В.А.