Понятие оптимизационных моделей
Экономико-математические задачи, преследующие цель определить оптимальный вариант использования имеющихся ресурсов при соблюдении определенных условий, относят к разряду оптимизационных. Такие задачи решаются с помощью оптимизационных моделей. Структура оптимизационных моделей состоит из целевой функции, множества допустимых решений и заданной системы ограничений, которые определяют область возможных решений.
Целевая функция оптимизационной модели включает в себя управляемые переменные, неуправляемые переменные и формы функции.
Множество допустимых решений – это область возможных вариантов решения оптимизационной задачи, в пределах которой осуществляется выбор решений.
Заданная система ограничений в экономических задачах представляется имеющимися в наличии ресурсами и условиями их возможного использования в целях решения оптимизационной задачи. Система ограничений формализуется в виде уравнений и неравенств. Ограничения в оптимизационных моделях могут быть линейными и нелинейными, детерминированными и стохастическими.
Задачи построения оптимизационных моделей
Основная задача построения оптимизационных моделей заключается в нахождении экстремума функций при заданных ограничениях в виде систем уравнений и неравенств. Учитывая, что в рамках современных экономических систем большинство процессов являются массовыми и описываются сложными закономерностями, построение оптимизационных моделей позволяет охарактеризовать любой процесс с помощью математических уравнений и рационального подхода к моделированию.
Оптимизационные модели предназначены для выявления наилучшего решения при соблюдении заранее заданных, определенных и конкретизированных условий и ограничений. Оптимизационная модель описывается с помощью целевой функции, имеющей много аргументов. В ходе оптимизации с помощью сконструированной функции перебирается все множество значений аргументов поочередно до тех пор, пока значение функции станет удовлетворять поставленным условиям в рамках оптимизационной модели. В оптимизационную модель должен обязательно входить один или несколько параметров, на которые можно оказывать влияние, чтобы добиться соблюдения условиям оптимума при наличии определенных ограничений.
Оптимизационные модели позволяют посредством анализа совокупности альтернативных вариантов решений определить наилучший вариант производства, распределения или потребления в условиях ограниченности имеющихся ресурсов, которые будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели, что является экономическим содержанием данных моделей.
В оптимизационных моделях объектом моделирования может выступать:
- склад предприятия,
- выпуск новой продукции,
- транспортировка готовой продукции и т.п.
Анализ ситуации, составляющей основу оптимизационной модели, сводится к оценке функционирования объекта моделирования, например, оптимизация работы склада предприятия должна учитывать скорость сбыта готовой продукции, размеры склада, объем оборотных средств. В зависимости от оптимизационной модели ненаблюдюдаемые параметры, включающие целевые значения функции и основных переменных, должны быть определены таким образом, чтобы обеспечить возможность рационального и обоснованного управления экономическими процессами. В то же время наблюдаемые параметры, которые сводятся к совокупности условий и ограничений, создают граничные условия для искомых значений функции.
Адекватность оптимизационной модели должна быть обеспечена таким образом, чтобы полностью или практически полностью характеризовать действительное функционирование объекта моделирования. Математический аппарат оптимизационной модели должен соответствовать описанию конкретного экономического процесса, например, отражать аналитические связи между основными параметрами функционирования склада готовой продукции на предприятии.
Это позволяет обеспечить достоверный анализ результатов моделирования выбранного объекта, которому подвергается совокупность всех оптимальных значений основных переменных и целевой функции, найденных в ходе перебора значений аргументов. На основе результатов такого анализа могут быть сделаны соответствующие выводы, благодаря которым принимается обоснованное оптимальное решение по управлению экономическим объектом или отдельным процессом.
Таким образом, следует сделать вывод:
Оптимизационные модели не являются единственным источником знаний о конкретном объекте, напротив, моделирование составляет более обширный и глубокий процесс познания особенностей функционирования объекта. Этот факт учитывается не только в рамках построения модели, но и при интерпретации полученных результатов, которые могут быть применены к объекту моделирования.
Элементы оптимизационной модели
Построение оптимизационной модели предваряет определение ее элементов. К обязательным элементам оптимизационной модели относятся переменные параметры конкретного экономического процесса, ограничения задачи и критерий оптимальности.
Элементы оптимизационной модели
Описание элементов оптимизационной модели приведено в таблице.
|
Элемент оптимизационной модели |
Характеристика элемента |
|---|---|
|
Переменные параметры процесса |
Переменные параметры процесса представляют собой совокупность неизвестных величин, значения которых определяются в ходе решения оптимизационной задачи и используются для рационального функционирования экономического процесса. Ограничения задачи – это символическая запись обязательных условий организации данного экономического процесса в виде неравенств и уравнений, что в целом соответствует системе ограничений в структуре оптимизационной модели. Критерий оптимальности является конкретным экономическим показателем, экстремум которого соответствует наиболее эффективной оптимизации экономического процесса. |
|
Ограничения оптимизационной задачи |
Правильное определение ограничений оптимизационной задачи является важным условием адекватной модели, вместе с тем необходимо избегать чрезмерного усложнения модели, что затруднит подготовку данных, процесс решения и анализ полученных результатов. С другой стороны нельзя допускать слишком упрощенной реализации модели, что неизбежно приведет к получению неадекватной модели, несоответствующей реальному экономическому процессу. Рациональные ограничения задачи могут включать в себя условия по объему производства и используемых ресурсов, балансовые соотношения между переменными, специальные условия для отдельных контрагентов предприятия, а также условия типизации и стандартизации производственных процессов в рамках оптимизационной модели. |
|
Критерий оптимальности |
Критерий оптимальности должен соответствовать следующим базовым требованиям. Во-первых, должно обеспечиваться глобальному критерию, с которым связано решение оптимизационной задачи. Во-вторых, необходим учет экономических последствий принимаемых решений, сформированных на основе результатов решения оптимизационной задачи. В-третьих, требуется исключение одинаковых по величине издержек. В-четвертых, следует учитывать текущую экономическую ситуацию в отношении хозяйствующего объекта, объекта моделирования. |
Примеры применения оптимизационных моделей
К примеру, если предприятие выпускает редкую продукцию, пользующуюся относительно высоким спросом, то целью оптимизационной задачи будет максимально увеличить объем производства этой продукции, а критерием оптимальности оптимизационной модели будет выступать максимальный выпуск продукции с единицы производственной мощности.
В качестве другого примера можно привести ситуацию, когда производственные мощности предприятия полностью загружены и их достаточно для производства такого объема продукции, который полностью удовлетворяет потребность в ней, то целью оптимизационной задачи может выступать наиболее эффективный вариант организации производства, а критерием оптимальности – получаемая предприятием прибыль.
В случае, когда объем производства на предприятии не может меняться, в качестве цели оптимизационной задачи может быть определено снижение себестоимости производства, а критерием оптимальности может выступать уровень издержек в стоимостном выражении или минимальный расход какого-либо дорогостоящего сырья.
Этапы построения оптимизационных моделей
- Постановка проблемы и ее качественный анализ
- Построение математической модели
- Математический анализ модели
- Подготовка исходной информации
- Разработка алгоритмов для численного решения оптимизационной задачи
- Анализ численных результатов и их применение
|
№ |
Наименование этапа |
Содержание этапа построения оптимизационной модели |
|---|---|---|
|
1 |
Постановка проблемы и ее качественный анализ |
Первым этапом построения оптимизационных моделей является постановка экономической проблемы и её качественный анализ. На данном этапе необходимо определить суть проблемы, допущения и основные вопросы оптимизационной задачи. Также данный этап включает описание моделируемого объекта, его структуры, имеющих место зависимостей и аналитических связей, формирование предварительных гипотез, объясняющих дальнейшее развитие объекта. |
|
2 |
Построение математической модели |
Вторым этапом является построение математической модели, которое представляет собой формализацию экономической проблемы в виде конкретных математических зависимостей, функций, уравнений, неравенств и т.д. В рамках данного этапа также определяется конкретный перечень переменных, условий, дополнительных параметров и характер связей. |
|
3 |
Математический анализ модели |
Третий этап представляет собой математический анализ модели. На данном этапе производится исследование общих свойств модели с помощью математических приемов и доказывается существование решений в рамках сформулированной модели. В случае, если доказано отсутствие решений, то дальнейшая работа в рамках данной модели бессмысленна, следует произвести коррекцию постановки оптимизационной задачи либо ее математической формализации. На данном этапе выясняются также такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, пределы их изменений, тенденции этих изменений, а также какие могут быть соотношения между этими переменными. Аналитические выводы, сделанные на данном этапе, сохраняют свое значение при любых значениях параметров оптимизационной модели в отличие от эмпирических выводом, которые справедливы только для конкретных значений переменных. |
|
4 |
Подготовка исходной информации |
На четвертом этапе производится подготовка исходной информации. В этих целях используются методы теории вероятностей и статистический сбор данных. При этом затраты на сбор информации не должны превышать эффект от получения дополнительной информации в результате решения оптимизационной задачи. |
|
5 |
Разработка алгоритмов для численного решения оптимизационной задачи |
Пятый этап включает в себя разработку алгоритмов для численного решения оптимизационной задачи, а также производится подбор необходимого программного обеспечения. Основной целью данного этапа является непосредственная расчетная работа. Объем экономических задач и учитываемой информации обуславливает основные трудности данного этапа. Численное решение оптимизационной задачи имеет многовариантный характер, существенно дополняет результаты, полученные в рамках математического анализа модели. Следует отметить, что для сложных экономических процессов численное решение является единственно осуществимым, поскольку перечень экономических задач, которые решаются численными методами, значительно превышает число экономических задач, доступных для аналитического исследования. |
|
6 |
Анализ численных результатов и их применение |
Шестым этапом является анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе построения оптимизационной модели оценивается достоверность, адекватность и объективность результатов моделирования, делается вывод о возможности их практического применения. |
Вывод
Оптимизационные задачи можно рассматривать как простые математические модели принятия управленческих решений в рамках системы планирования и управления хозяйственной деятельностью предприятия. Оптимизационные модели наиболее часто используются в практике хозяйствующих субъектов для максимизации прибыли на предприятии или отдельных направлениях деятельности, для сокращения расходов на производство и минимизации убытков, которые могут понести предприятия вследствие наступления определенных рисковых событий. Вместе с тем, оптимизационные модели позволяют усовершенствовать систему экономической информации на предприятии, интенсифицировать экономические расчеты и повысить их точность, увеличить глубину и эффективность количественного анализа экономических проблем, а также предоставляют возможности решать принципиально новые экономические задачи.
Литература
- Белолипецкий А.А., Горелик В.А. Экономико-математические методы. – М.: Академия, 2010.
- Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009.
- Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике. – М.: Высшая школа, 2007.
- Орлов А.И. Оптимальные методы в экономике и управлении. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.
- Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: Юрайт, 2013.
- Шапкин А.С., Шапкин В.А. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Дашков и К, 2011.
- Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации. – М.: КомКнига, 2007.
